【題目】已知橢圓.點E為橢圓在第一象限內(nèi)一點，點F在橢圓上且與點E關于原點對稱，直線與橢圓交于A，B兩點，則點E，F到直線x+y-1=0的距離之和的最大值是________；此時四邊形AEBF的面積是________.

【答案】

【解析】

根據(jù)題意，設出兩點坐標，利用點到直線的距離公式，求得距離之和的表達式，結合點在橢圓上坐標滿足橢圓方程，利用柯西不等式即可求得距離之和的最大值；聯(lián)立橢圓方程和，求得兩點坐標，即可求得，則四邊形的面積可得.

根據(jù)題意，作圖如下：

不妨設，則，

故到直線的距離之和

因為點是橢圓上位于第一象限的點，根據(jù)直線劃分平面，以及點位于直線的右上側，

故可得：，且，

則.

又因為點在橢圓上，故，

由柯西不等式可得：，

即，解得，當且僅當時取得等號.

故；

聯(lián)立橢圓方程與直線方程，

可得，解得，

故可得.

故四邊形的面積.

故答案為：；.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設，若，恒有成立，求的最小值.

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【題目】設拋物線的焦點為，準線為，為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經(jīng)過點.

（1）求的值及該圓的方程；

（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）設兩個極值點分別為x1，x2，x1＜x2，證明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了貫徹落實黨中央對新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，堅決防范疫情向校園蔓延，切實保障廣大師生身體健康和生命的安全，教育主管部門決定通過電視頻道、網(wǎng)絡平臺等多種方式實施線上教育教學工作．為了了解學生和家長對網(wǎng)課授課方式的滿意度，從經(jīng)濟不發(fā)達的A城市和經(jīng)濟發(fā)達的B城市分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如下：

若評分不低于80分，則認為該用戶對此授課方式“認可”，否則認為該用戶對此授課方式“不認可”．以該樣本中A，B城市的用戶對此授課方式“認可”的頻率分別作為A，B城市用戶對此授課方式“認可”的概率．現(xiàn)從A城市和B城市的所有用戶中分別隨機抽取2個用戶，用表示這4個用戶中對此授課方式“認可”的用戶個數(shù)，則__________；用表示從A城市隨機抽取2個用戶中對此授課方式“認可”的用戶個數(shù)，則的數(shù)學期望為_________ ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C:過原點的直線與橢圓交于A，B兩點(點A在第一象限)，過點A作x軸的垂線，垂足為點，設直線BE與橢圓的另一交點為P，連接AP得到直線l，交x軸于點M，交y軸于點N.

（1）若，求直線AP的斜率；

（2）記的面積分別為S1，S2，S3，求的的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列中前兩項給定，若對于每個正整數(shù)，均存在正整數(shù)（）使得，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為的等比數(shù)列，當時，試問：與是否相等，并說明數(shù)列是否為“數(shù)列”；

（2）討論首項為、公差為的等差數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；

（3）已知數(shù)列為“數(shù)列”，且 ，記，，其中正整數(shù)， 對于每個正整數(shù)，當正整數(shù)分別取1、2、、時的最大值記為、最小值記為. 設，當正整數(shù)滿足時，比較與的大小，并求出的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在正的極值，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設n為正整數(shù)，集合A=，，，，，．對于集合A中的任意元素和，記．

（Ⅰ）當n=3時，若，，求和的值；

（Ⅱ）當時，對于中的任意兩個不同的元素，，證明：．

（Ⅲ）給定不小于2的正整數(shù)n，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同元素，，．寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明由．

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