Question

15．在某市組織的一次數(shù)學(xué)競賽中全體參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布N（60，100），已知成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有13人．
（1）求此次參加競賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？
（2）若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學(xué)生，問受獎學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少？
注：參考數(shù)值：P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544 P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出參賽人數(shù)的分?jǐn)?shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)符合正態(tài)分布，根據(jù)成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有13名，列出大于90分的學(xué)生的概率，成績在90分以上（含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的0.0013，列出比例式，得到參賽的總?cè)藬?shù)．
（2）設(shè)受獎的學(xué)生的分?jǐn)?shù)線為x₀．由P（X≥x₀）=$\frac{228}{10000}$=0.0228＜0.5，可得x₀＞60．進一步得知P（120-x₀＜X＜x₀）=1-2P（X≥x₀）=0.9544，即可得x₀=60+20=80，故受獎學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是80．

解答 解：（1）設(shè)學(xué)生的成績?yōu)閄，共有n人參加競賽，
∵X～N（60，100），∴μ=60，σ=10．
∴P（X≥90）=$\frac{1}{2}$•[1-P（30＜X＜90）]=$\frac{1}{2}•$（1-0.9974）=0.0013．
又P（X≥90）=$\frac{13}{n}$，∴$\frac{13}{n}$=0.0013．∴n=10000．
故此次參加競賽的學(xué)生總數(shù)共有10000人．
（2）設(shè)受獎的學(xué)生的分?jǐn)?shù)線為x₀．則P（X≥x₀）=$\frac{228}{10000}$=0.0228．
∵0.0228＜0.5，∴x₀＞60．∴P（120-x₀＜X＜x₀）=1-2P（X≥x₀）=0.9544，
∴x₀=60+20=80．
故受獎學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是80．

點評 本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，是一個實際應(yīng)用問題．