【題目】如圖1所示,在直角梯形DCEF中,,,將四邊形ABEF沿AB邊折成圖2.

1)求證:平面DEF;

2)若,求平面DEF與平面EAC所成銳二面角的余弦值.

【答案】1)見解析(2

【解析】

1)連接BD,AC于點O,DE的中點為G,連接FG,OG,證明,再利用線面平行判定定理,即可證得平面DEF;

2)以C為坐標(biāo)原點,CB,CDCE所在直線分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面DEF的法向量,平面EAC的法向量,求出兩個法向量夾角的余弦值,從而求得平面DEF與平面EAC所成銳二面角的余弦值。

1)連接BD,AC于點O,DE的中點為G,連接FG,OG,

,

又因為,,

所以,且,

所以四邊形AOGF是平行四邊形,

所以

平面DEF,平面DEF,

所以平面DEF.

2)因為,

所以,

所以,

因為,,,

所以,

所以,

因為,

所以平面ABCD,

所以CBCD,CE兩兩垂直,

C為坐標(biāo)原點,CBCDCE所在直線分別為x,yz軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

,,,,

,得,

設(shè)平面DEF的法向量為

因為,,

所以由,得,

,得,,

所以,

設(shè)平面EAC的法向量

因為,,

所以由,得

,得,

設(shè)平面DEF與平面EAC所成的銳二面角為,

所以,

所以平面DEF與平面EAC所成的銳二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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2)證明:函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的弱漸近函數(shù);

3)試問:函數(shù)與函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上是否存在相同的弱漸近函數(shù)?如果存在,請求出對應(yīng)的弱漸近函數(shù)應(yīng)滿足的條件;如不存在,請說明理由.

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1)若,判斷是否為“可平衡”函數(shù),并說明理由;

2)若,,當(dāng)變化時,求證:的“平衡”數(shù)對相同;

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)討論的單調(diào)性;

)若有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.

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