Question

已知向量

m

=(sin(A-B)，2cosA)，

n

=(1，cos(

π

2

-B))，且

m

•

n

=-sin2C，其中A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若sinA+sinB=

2 3

3

sinC，且S△ABC=4

3

，求c．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理的應(yīng)用,余弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（Ⅰ）A、B、C為△ABC的內(nèi)角，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得

m

•

n

=sin（A+B），與已知

m

•

n

=-2sin2C聯(lián)立，即可求得角C的大��；
（Ⅱ）利用正弦定理知，a+b=

2 3

3

c；由S_△ABC=

1

2

absinC=4

3

可得ab=16，再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC即可求得c的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（sin（A-B），2cosA），

n

=（1，cos（

π

2

-B）），
∴

m

•

n

=sin（A-B）+2cosA•cos（

π

2

-B）=sin（A+B），
又∵

m

•

n

=-2sin2C，
∴sin（A+B）=-sin2C，
∵sin（A+B）=sinC，
∴sinC=-sin2C=-2sinCcosC，
∵0＜C＜π，
∴sinC≠0，
∴cosC=-

1

2

，
又∵0＜C＜π，
∴C=

2π

3

；
（Ⅱ）∵sinA+sinB=

2 3

3

sinC，由正弦定理得a+b=

2 3

3

c，（1）；
S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

ab•

3

2

=4

3

，得ab=16，（2）
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得c²=a²+b²+ab，（3）
由（1）（2）（3）可得c=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．