Question

已知

a

=（

3

，cosωx），

b

=（sinωx，-1），（0＜ω＜3，x∈R）．函數(shù)f（x）=

a

•

b

，若將函數(shù)f（x）的圖象的其中一個(gè)對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最小距離為

π

4

個(gè)單位．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若f(

α

2

)=

1

2

，(

π

6

＜α＜

2

3

π)，求sinα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)解析式的求解及常用方法,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意和向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)f（x），由條件求出函數(shù)的周期在求ω的值，即求出函數(shù)的解析式，再由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間求出此函數(shù)的增區(qū)間；
（Ⅱ）把f(

α

2

)=

1

2

代入解析式化簡(jiǎn)得sin(α-

π

6

)=

1

4

，由α的范圍和平方關(guān)系求出cos(α-

π

6

)的值，由sinα=sin[(α-

π

6

)+

π

6

]、兩角差的正弦公式求值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=

a

•

b

=

3

sinωx-cosωx=2sin(ωx-

π

6

)，
因?yàn)槠渲幸粋�(gè)對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最小距離為

π

4

個(gè)單位，
所以T=

2π

ω

=π，解得ω=2，
則f(x)=2sin(2x-

π

6

)，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)得，
-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ(k∈Z)，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ](k∈Z)；

（Ⅱ）由f(

α

2

)=

1

2

得，2sin(α-

π

6

)=

1

2

，則sin(α-

π

6

)=

1

4

，
由

π

6

＜α＜

2

3

π得，0＜α-

π

6

＜

π

2

，
所以cos(α-

π

6

)=

1-sin2(α- π 6 )

=

15

4

，
則sinα=sin[(α-

π

6

)+

π

6

]=sin(α-

π

6

)cos

π

6

+cos(α-

π

6

)sin

π

6

=

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

3 + 15

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算，以及三角恒等變換的公式的應(yīng)用，注意角之間的關(guān)系，即變角在求值中的應(yīng)用．