Question

6．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）的導函數(shù)f′（x）＜$\frac{1}{2}$，則不等式f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集為（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 設F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，根據題意可得函數(shù)F（x）在R上單調遞減，然后根據f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$可得f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{2}$＜f（1）-$\frac{1}{2}$，最后根據單調性可求出x的取值范圍．

解答 解：設F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，則F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$，
∵f′（x）＜$\frac{1}{2}$，∴F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
即函數(shù)F（x）在R上單調遞減
而f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$，
即f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{2}$＜f（1）-$\frac{1}{2}$，
∴F（x²）＜F（1）而函數(shù)F（x）在R上單調遞減，
∴x²＞1即x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
故選：B．

點評 本題主要考查了導數(shù)的運算，以及利用單調性解不等式和構造法的應用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．