Question

4．如圖，某公園有三條觀光大道AB，BC，AC圍成直角三角形，其中直角邊BC=200m，斜邊AB=400m，現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB，BC，AC大道上嬉戲，所在位置分別記為點(diǎn)D，E，F(xiàn)．
（1）若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走，到大道的另一端時(shí)即停，乙比甲遲2分鐘出發(fā)，當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后，求此時(shí)甲乙兩人之間的距離；
（2）設(shè)∠CEF=θ，乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍，且∠DEF=$\frac{π}{3}$，請(qǐng)將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離．

Answer 1

分析 （1）由題意，BD=300，BE=100，△BDE中，由余弦定理可得甲乙兩人之間的距離；
（2）△BDE中，由正弦定理可得$\frac{200-2ysinθ}{sinθ}$=$\frac{y}{sin60°}$，可將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離．

解答 解：（1）由題意，BD=300，BE=100，
△ABC中，cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$，
△BDE中，由余弦定理可得DE=$\sqrt{30{0}^{2}+10{0}^{2}-2•300•100•\frac{1}{2}}$=100$\sqrt{7}$m；
（2）由題意，EF=2DE=2y，∠BDE=∠CEF=θ．
△CEF中，CE=EFcos∠CEF=2ycosθ
△BDE中，由正弦定理可得$\frac{200-2ycosθ}{sinθ}$=$\frac{y}{sin60°}$，
∴y=$\frac{100\sqrt{3}}{sinθ+\sqrt{3}cosθ}$=$\frac{50\sqrt{3}}{sin（θ+\frac{π}{3}）}$，0$＜θ＜\frac{π}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$，y_min=50$\sqrt{3}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查正弦、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．