Question

觀察給出的下列各式：
（1）tan10°•tan20°+tan20°•tan60°+tan60°•tan10°=1；
（2）tan5°•tan15°+tan15°•tan70°+tan70°•tan5°=1．
由以上兩式成立，你能得到一個什么樣的推廣？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：可以觀察到：10°+20°+60°=90°，5°+15°+70°=90°，故可以猜想此推廣式為：若α+β+γ=

π

2

，且α，β，γ都不等于kπ+

π

2

(k∈Z)，則有tanα•tanβ+tanβ•tanγ+tanγ•tanα=1．利用和角的正切公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：可以觀察到：10°+20°+60°=90°，5°+15°+70°=90°，
故可以猜想此推廣式為：若α+β+γ=

π

2

，且α，β，γ都不等于kπ+

π

2

(k∈Z)，
則有tanα•tanβ+tanβ•tanγ+tanγ•tanα=1．                
證明：∵α+β+γ=

π

2

，∴α+β=

π

2

-γ，
∴tan（α+β）=tan（

π

2

-γ）=cotγ，
∴tanα+tanβ=cotγ（1-tanαtanβ），
∴tanα•tanβ+tanβ•tanγ+tanγ•tanα=1．

點評：合情推理中的類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去．其思維過程大致是：觀察、比較 聯(lián)想、類推 猜測新的結(jié)論．