Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=3S_n+2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）試判斷數(shù)列{a_n+1}是否成等比數(shù)列？并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記T_n為數(shù)列{a_n+1}的前n項(xiàng)和，求

Tn+ 1 2

Tn+2n

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a_n+1+1=3（a_n+1），（n≥2），但a₁+1=4，不符合上式，由此{(lán)a_n+1}不是等比數(shù)列，由此求出an=

3，n=1 3n-1，n≥2

．
（Ⅱ）由a_n+1=

4，n=1 3n，n≥2

，知T_n=4+9+27+…+3ⁿ=

3n+1-1

2

，

Tn+ 1 2

Tn+2n

=

1

1+( 2 3 )n+1-( 1 3 )n+1

，由此推導(dǎo)出{

Tn+ 1 2

Tn+2n

}為遞增數(shù)列，從而能求出

Tn+ 1 2

Tn+2n

的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n+1=3S_n+2n，S_n=3S_n-1+2（n-1），
兩式相減，得：
a_n+1=3a_n+2，n≥2，
a_n+1+1=3（a_n+1），（n≥2），但a₂+1=9，
a₁+1=4，不符合上式，
∴{a_n+1}不是等比數(shù)列，
∴a_n+1=

4，n=1 3n，n≥2

，
∴an=

3，n=1 3n-1，n≥2

．
（Ⅱ）a_n+1=

4，n=1 3n，n≥2

，
T_n=4+9+27+…+3ⁿ=

3n+1-1

2

，

Tn+ 1 2

Tn+2n

=

3n+1

3n+1-1+2n+1

=

1

1+( 2 3 )n+1-( 1 3 )n+1

，
bn=(

2

3

)n+1-(

1

3

)n+1+1，
b_n-b_n+1=

2-2n

3n+1

＜0，n≥2，0＜b_n＜b_n-1，

1

bn

＞

1

bn-1

，
∴{

Tn+ 1 2

Tn+2n

}為遞增數(shù)列，∴n=1時(shí)，

Tn+ 1 2

Tn+2n

取最小值

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列是否為等比數(shù)列的判斷，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的最小值的求法，是中檔題．