Question

（2012•資陽一模）某校為全面推進新課程改革，在高一年級開設了研究性學習課程，某班學生在一次研究活動課程中，一個小組進行一種驗證性實驗，已知該種實驗每次實驗成功的概率為

1

2

．
（1）求該小組做了5次這種實驗至少有2次成功的概率．
（2）如果在若干次實驗中累計有兩次成功就停止實驗，否則將繼續(xù)下次實驗，但實驗的總次數(shù)不超過5次，求該小組所做實驗的次數(shù)ξ的概率分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“該小組做了5次實驗至少有2次成功”為事件A，“只成功一次”為事件A₁，“一次都不成功”為事件A₂，則：P（A）=1-P（A₁+A₂）=1-P（A₁）-P（A₂）=1-

C

1 5

(

1

2

)5-

C

0 5

(

1

2

)5=

13

16

．由此能求出該小組做了5次這種實驗至少有2次成功的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為2，3，4，5．分別求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5）的值，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）記“該小組做了5次實驗至少有2次成功”為事件A，
“只成功一次”為事件A₁，
“一次都不成功”為事件A₂，
則：P（A）=1-P（A₁+A₂）=1-P（A₁）-P（A₂）
=1-

C

1 5

(

1

2

)5-

C

0 5

(

1

2

)5=

13

16

．
故該小組做了5次這種實驗至少有2次成功的概率為

13

16

．（6分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為2，3，4，5．
則P(ξ=2)=(

1

2

)2=

1

4

；
P(ξ=3)=

C

1 2

(

1

2

)3=

1

4

，
P(ξ=4)=

C

1 3

(

1

2

)4=

3

16

，
P(ξ=5)=

C

0 5

(

1

2

)5+

C

1 5

(

1

2

)5+

C

1 4

(

1

2

)5=

5

16

．（每對一個得1 分）（10分）
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	1 4	1 4	3 16	5 16

（11分）
∴Eξ=2×

1

4

+3×

1

4

+4×

3

16

+5×

5

16

=

57

16

．（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是歷年高考的必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的靈活運用．