Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x+1|．
（1）求不等式f（x）+1＜f（2x）的解集M；
（2）設(shè)a，b∈M，證明：f（ab）＞f（a）-f（-b）．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得|a+1|＞0，|b|-1＞0，化簡f（ab）-[f（a）-f（-b）]為|a+1|•（|b|-1|）＞0，從而證得不等式成立．

解答 （1）解：不等式f（x）+1＜f（2x）即|x+1|＜|2x+1|-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1＜-2x-1-1}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤-\frac{1}{2}}\\{x+1＜-2x-1-1}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-\frac{1}{2}}\\{x+1＜2x+1-1}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．
故要求的不等式的解集M={x|x＜-1或 x＞1}．
（2）證明：設(shè)a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|-1＞0，
則 f（ab）=|ab+1|，f（a）-f（-b）=|a+1|-|-b+1|．
∴f（ab）-[f（a）-f（-b）]=f（ab）+f（-b）-f（a）=|ab+1|+|1-b|-|a+1|
=|ab+1|+|b-1|-|a+1|≥|ab+1+b-1|-|a+1|=|b（a+1）|-|a+1|
=|b|•|a+1|-|a+1|=|a+1|•（|b|-1|）＞0，
故f（ab）＞f（a）-f（-b）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，屬于中檔題．