Question

（文）已知以a為首項(xiàng)的數(shù)列{a_n}滿足：an+1=

an-3，an＞3 2an，an≤3.

（1）若0＜a_n≤6，求證：0＜a_n+1≤6；
（2）若a，k∈N﹡，求使a_n+k=a_n對(duì)任意正整數(shù)n都成立的k與a；
（3）若a=

3

2m-1

（m∈N﹡），試求數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)的和s_m．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n∈（0，3]時(shí)，則a_n+1=2a_n∈（0，6]，當(dāng)a_n∈（3，6]時(shí)，則a_n+1=a_n-3∈（0，3]，故知a_n+1∈（0，6]，所以當(dāng)0＜a_n≤6時(shí)，總有0＜a_n+1≤6，
（2）分類討論a的值，當(dāng)a=1時(shí)滿足題意的k=3t，同理證明a=2或4時(shí)，k和t的關(guān)系，再證明a=5或a≥7時(shí)k與t之間的關(guān)系，
（3）由m∈N*，可得2^m-1≥1，故a=

3

2m-1

≤3，然后證明當(dāng)1＜k≤m時(shí)2^k-1a的取值范圍，根據(jù)數(shù)列求和的知識(shí)點(diǎn)求出{a_n}的前m項(xiàng)的和s_m．

解答：解：（1）當(dāng)a_n∈（0，3]時(shí)，則a_n+1=2a_n∈（0，6]，當(dāng)a_n∈（3，6]時(shí)，則a_n+1=a_n-3∈（0，3]，
故a_n+1∈（0，6]，所以當(dāng)0＜a_n≤6時(shí)，總有0＜a_n+1≤6．　 …（5分）
（2）①當(dāng)a=1時(shí)，a₂=2，a₃=4，a₄=1，故滿足題意的k=3t，t∈N*．
同理可得，當(dāng)a=2或4時(shí)，滿足題意的k=3t，t∈N*．
當(dāng)a=3或6時(shí)，滿足題意的k=2t，t∈N*．
②當(dāng)a=5時(shí)，a₂=2，a₃=4，a₄=1，故滿足題意的k不存在．
③當(dāng)a≥7時(shí)，由（1）知，滿足題意的k不存在．
綜上得：當(dāng)a=1，2，4時(shí)，滿足題意的k=3t，t∈N*；
當(dāng)a=3，6時(shí)，滿足題意的k=2t，t∈N*．    …（12分）
（3）由m∈N*，可得2^m-1≥1，故a=

3

2m-1

≤3，
當(dāng)1＜k≤m時(shí)，2k-1a≤

3×2m-1

2m-1

=

3×2m-1

2m-1+(2m-1-1)

＜

3×2m-1

2m-1

=3
∴a_k=2^k-1a（k=1，2，…m）（15分）
∴S_m=a₁+a₂+•…+a_m=（1+2+…+2^m-1）a=（2^m-1）a=3---------（18分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列和不等式的綜合的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)列的求和等知識(shí)，此題難度有點(diǎn)大，作答時(shí)需要注意．