Question

7．已知矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$，N=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，試求曲線y=sinx在矩陣（MN）^-1變換下的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 先求出MN，從而求出矩陣（MN）^-1=$[\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$，設(shè)（x，y）是曲線y=sinx上的任意一點(diǎn)，在矩陣（MN）^-1變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（a，b），得到x=$\frac{1}{2}a$，y=2b，由此能求出曲線y=sinx在矩陣（MN）^-1變換下的曲線方程．

解答 解：∵矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$，N=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，
∴MN=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}][\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$，
∵$（\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&{0}&{\;}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{\;}&{0}&{1}\end{array}）$→$（\begin{array}{l}{1}&{0}&{\;}&{2}&{0}\\{0}&{1}&{\;}&{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}）$，
∴矩陣（MN）^-1=$[\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$，
設(shè)（x，y）是曲線y=sinx上的任意一點(diǎn)，在矩陣（MN）^-1變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（a，b）．
則$[\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{a}\\\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2x}\\{b=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$，即x=$\frac{1}{2}a$，y=2b，
代入y=sinx得：2b=sin（$\frac{1}{2}$a），即b=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$a）．
即曲線y=sinx在矩陣（MN）^-1變換下的曲線方程為y=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意矩陣的乘積、逆矩陣的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．