Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA₁=1，E是A₁C₁與B₁D₁的交點(diǎn)．
（1）作出面A₁BC₁與面ABCD的交線l，并寫出作法；
（2）若以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸、y軸、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，試寫出B，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求BE的長(zhǎng)；
（3）求BC₁與面BDD₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）在面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線BE，（或過(guò)點(diǎn)B作A₁C₁的平行線），得到此平行線即為所求作的交線l．
（2）根據(jù)條件中所給的坐標(biāo)系，寫出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式寫出兩點(diǎn)之間的距離．
（3）要求線面角，包括三個(gè)過(guò)程，一作二證三求，通過(guò)垂直做出面的垂直線，得到線面角，在直角三角形中利用三角函數(shù)的定義做出正切值．

解答：解：（1）在面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線BE，（或過(guò)點(diǎn)B作A₁C₁的平行線）
則此平行線即為所求作的交線l
（2）B（2，2，0），E（1，1，1）
BE=

3

（3）連接BE，
∵C₁E⊥B₁D₁，C₁E⊥BB₁
∴C₁E⊥面BDD₁B₁，
∴∠C₁BE為BC₁與面BDD₁B₁所成的角，
又∵C₁E=

2

，BE=

3

∴tan∠C₁BE=

C1E

BE

=

2

3

=

6

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線乙平面所成的角和兩點(diǎn)之間的距離，解決本題的關(guān)鍵是看出與平面垂直的線，得到線面角．