【題目】如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,,Q是AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)若,求證:平面PQB平面PAD;
(Ⅱ)若平面APD平面ABCD,且,點(diǎn)M在線段PC上,試確定點(diǎn)M的位置,使二面角的大小為,并求出的值.
【答案】(1)證明過程詳見解析;(2).
【解析】
試題分析:本題主要以四棱錐為幾何背景,考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、向量法等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問,為等腰三角形,Q為AD中點(diǎn),所以,又由于底面ABCD為菱形,得到,利用線面垂直的判定得到平面PQB,最后利用面面垂直的判定得到結(jié)論;第二問,利用面面垂直的性質(zhì)得到兩兩垂直關(guān)系,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出面內(nèi)所有點(diǎn)的坐標(biāo),得到向量坐標(biāo)
試題解析:(1)∵,Q為AD的中點(diǎn),∴,
又底面ABCD為菱形,,∴ ,
又∴平面PQB,又∵平面PAD,
平面PQB平面PAD;
(2)平面PAD平面ABCD,平面平面,∴平面ABCD.
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以QA,QB,QP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
則,
設(shè),
所以,平面CBQ的一個法向量是,
設(shè)平面MQB的一個法向量為,所以
取,
由二面角大小為,可得:
,解得,此時.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線關(guān)于軸對稱,頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn), ,且滿足,證明直線過軸上一定點(diǎn),并求出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最大值與最小值之和為a2+a+1(a>1).
(1)求a的值;
(2)判斷函數(shù)g(x)=f(x)-3在[1,2]的零點(diǎn)的個數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖柱狀圖:
以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;
(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直線坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cosθ.
(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;
(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0 , 其中α0滿足tanα0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系,已知曲線,已知過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),直線與曲線C分別交于M,N.
(Ⅰ)寫出曲線C和直線的普通方程;
(Ⅱ)若成等比數(shù)列,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解某市開展群眾體育活動的情況,擬采用分層抽樣的方法從A、B、C三個區(qū)抽取5個工廠進(jìn)行調(diào)查.已知這三個區(qū)分別有9,18,18個工廠.
(1)求從A、B、C三個區(qū)中分別抽取的工廠的個數(shù);
(2)若從抽得的5個工廠中隨機(jī)地抽取2個進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的比較,計(jì)算這2個工廠中至少有一個來自C區(qū)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)解不等式;
(2)若函數(shù),其中為奇函數(shù),為偶函數(shù),若不等式對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M的方程為x 2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點(diǎn)P在直線l上,過P點(diǎn)作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
(1)若∠APB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)時,求直線CD的方程;
(3)求證:經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).
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