【題目】如圖,有一塊邊長(zhǎng)為1(百米)的正方形區(qū)域ABCD.在點(diǎn)A處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈,其照射角∠PAQ始終為45°(其中點(diǎn)P,Q分別在邊BC,CD上),設(shè)BP=t.
(I)用t表示出PQ的長(zhǎng)度,并探求△CPQ的周長(zhǎng)l是否為定值;
(Ⅱ)設(shè)探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S(平方百米),求S的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由BP=t,得CP=1﹣t,0≤t≤1,
設(shè)∠PAB=θ,
則∠DAQ=45°﹣θ,
DQ=tan(45°﹣θ)=,CQ=1﹣=,
∴PQ===,
∴l(xiāng)=CP+CQ+PQ=1﹣t++=1﹣t+1+t=2,是定值
(Ⅱ)S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1×1﹣×1×t﹣×1×,
=1﹣t﹣=1﹣t﹣(﹣1+),
=1+﹣﹣,
=2﹣(+),
由于1+t>0,
則S=2﹣(+)≤2﹣2=2﹣,當(dāng)且僅當(dāng)=,即t=﹣1時(shí)等號(hào)成立,
故探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S最多為2﹣平方百米.
【解析】(Ⅰ)由BP=t,得CP=1﹣t,0≤t≤1,設(shè)∠PAB=θ,則∠DAQ=45°﹣θ,分別求出CP,CQ,PQ即可得到求出周長(zhǎng)l=2,問(wèn)題得以解決;
(Ⅱ)根據(jù)S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ得到S=2﹣(+),根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可求出S的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=aex+ +b(a>0).
(Ⅰ)求f(x)在[0,+∞)內(nèi)的最小值;
(Ⅱ)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y= ,求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}、等差數(shù)列{bn},滿足a1>0,b1=a1﹣1,b2=a2 , b3=a3且數(shù)列{an}唯一.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).
(1)若∥,∥,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為4,E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn),EF∩BD=G.求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
如圖1,在Rt中,,.D、E分別是上的點(diǎn),且,將沿折起到的位置,使,如圖2.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若,求與平面所成角的余弦值;
(Ⅲ)當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí),的長(zhǎng)度最小,并求出最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A、B、C、D是函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn),如圖所示,A(﹣ , 0),B為y軸的點(diǎn),C為圖象上的最低點(diǎn),E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱,在x軸方向上的投影為 .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移得到函數(shù)g(x)的圖象,已知g(α)= , α∈(﹣ , 0),求g(α+)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),曲線C2的普通方程為,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的極坐標(biāo)方程;
(2)若A,B是曲線C2上的兩點(diǎn),且OA⊥OB,求+的值.
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