Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對任意n∈N^*，總有S_n=p（a_n-1），（p是常數(shù)，且p≠0，p≠1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}中，b_n=2n+c（c是常數(shù)），且a₁=b₁，a₂＜b₂，求p的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題a₁=s₁=p（a₁-1）?（p≠0，p≠1），
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=p（a_n-a_n-1）?（p-1）a_n=pa_n-1，
即 （常數(shù)）．
所以{a_n}是以 為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以
（Ⅱ） a₁=b₁=2+c，c=a₁-2，a₂＜b₂ 即為＜+2，令=t．則
t²-t-2＜0，-1＜t＜2．∴∴得∴p或p＞2．
分析：（Ⅰ）先把n=1直接代入求出數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁，再利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求出遞推關(guān)系研究出數(shù)列{a_n}的 性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由a₁=b₁=2+c，將a₂＜b₂ 消去c化為＜+2，去解，令=t進(jìn)行換元．
點(diǎn)評：本題考查Sn與a_n關(guān)系的具體應(yīng)用，等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，分式不等式的解法．考查消元、換元的方法、及邏輯思維能力．