Question

【題目】計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X（年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和．單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．
（1）求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率；
（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：

年入流量X	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)	1	2	3

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元，若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，p1=P（40＜X＜80）= ， ， ，

由二項(xiàng)分布，未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為

=

（2）解：記水電站的總利潤(rùn)為Y（單位，萬(wàn)元）

①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形，

由于水庫(kù)年入流總量大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，

②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形，

依題意，當(dāng) 40＜X＜80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000﹣800=4200，

因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1= ，

當(dāng)X≥80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，

由此得Y的分布列如下

Y	4200	10000
P	0.2	0.8

所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．

③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形，

依題意，當(dāng) 40＜X＜80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000﹣1600=3400，

因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，

當(dāng)80≤X≤120時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，

當(dāng)X＞120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，

由此得Y的分布列如下

Y	3400	9200	15000
P	0.2	0.7	0.1

所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．

綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái)．

【解析】（1）先求出年入流量X的概率，根據(jù)二項(xiàng)分布，求出未來(lái)4年中，至少有1年的年入流量超過(guò)120的概率；（2）分三種情況進(jìn)行討論，分別求出一臺(tái)，兩臺(tái)，三臺(tái)的數(shù)學(xué)期望，比較即可得到
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．