Question

17．從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：
（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)$\overline x$，和樣本方差s²
（同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ²），其中μ近似為樣本平均數(shù)$\overline x$，近似為樣本方差s²．
①利用該正態(tài)分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品數(shù)，利用的結(jié)果，求EX．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖可估計(jì)樣本特征數(shù)平均數(shù)與方差，用區(qū)間中點(diǎn)值作代表，計(jì)算平均數(shù)；方差是矩形橫坐標(biāo)與均值差的平方的加權(quán)平均值；
（2）①由（1）知Z～N（200，150），利用正態(tài)分布求出對應(yīng)的概率值；②依題意知X～B（100，0.6826），求得EX的值．

解答 解：（1）取個(gè)區(qū)間中點(diǎn)值為區(qū)間代表計(jì)算平均數(shù)為：
$\overline{X}$=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
方差為：
s²=（-30）²×0.02+（-20）²×0.09+（-10）²×0.22+0×0.33+10²×0.24+20²×0.08+30²×0.02=150；
（2）①由（1）知，Z～N（200，150）即N（200，12.2²），
從而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200-12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826，
②由①知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的概率為0.6826，
依題意知X～B（100，0.6826），
所以EX=100×0.6826=68.26．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差以及正態(tài)分布的特點(diǎn)與應(yīng)用問題，是綜合題．