Question

3．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)和極值；
（3）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤$\frac{lnx}{x+1}$恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，求解切線的斜率f′（1）=1-a，然后求解切線方程．
（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值即可．
（3）令g（x）=xlnx-a（x²-1）（x≥1），求出導(dǎo)函數(shù)g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，求出${F^'}（x）=\frac{1-2ax}{x}$，通過(guò)若a≤0，若$0＜a＜\frac{1}{2}$，若$a≥\frac{1}{2}$，分別判斷函數(shù)的符號(hào)函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，然后求解a的取值范圍．

解答 解：（1）由題${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{-ax+1}{x}$，所以f′（1）=1-a，
所以切線方程為：（1-a）（x-1）-y=0
（2）由題a=1時(shí)，f（x）=lnx-x+1，所以${f^'}（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$
所以f′（x）＞0⇒0＜x＜1；f′（x）＜0⇒x＞1，
所以f（x）在（0，1）單增，在（1，+∞）單減，所以f（x）在x=1取得極大值f（1）=0．
所以函數(shù)f（x）的極大值f（1）=0，函數(shù)無(wú)極小值
（3）$f（x）-\frac{lnx}{x+1}=\frac{{xlnx-a（{x^2}-1）}}{x+1}$，
令g（x）=xlnx-a（x²-1）（x≥1），
g′（x）=lnx+1-2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1-2ax，${F^'}（x）=\frac{1-2ax}{x}$
①若a≤0，F(xiàn)′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）遞增，g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0
∴g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0，從而$f（x）-\frac{lnx}{x+1}≥0$，不符合題意
②若$0＜a＜\frac{1}{2}$，當(dāng)$x∈（1，\frac{1}{2a}）$，F(xiàn)′（x）＞0，∴g′（x）在$（1，\frac{1}{2a}）$遞增，
從而g′（x）＞g′（1）=1-2a，以下論證同（1）一樣，所以不符合題意
③若$a≥\frac{1}{2}$，F(xiàn)′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1，+∞）遞減，g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0，
從而g（x）在[1，+∞）遞減，∴g（x）≤g（1）=0，$f（x）-\frac{lnx}{x+1}≤0$，
綜上所述，a的取值范圍是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的極值單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用，難度比較大．