Question

3．已知圓心為C的圓過(guò)點(diǎn)A（-2，2），B（-5，5），且圓心在直線l：x+y+3=0上
（Ⅰ）求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（-2，9）作圓的切線，求切線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，然后把A和B的坐標(biāo)代入到圓方程中得到①和②，又因?yàn)閳A心在直線x+y+3=0上，所以代入得到③，聯(lián)立①②③，求出a，b，r的值即可得到圓的方程．
（Ⅱ）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過(guò)點(diǎn)M（-2，9）作圓的切線的切線方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，根據(jù)已知條件可得
（-2-a）²+（2-b）²=r²，①
（-5-a）²+（5-b）²=r²，②
a+b+3=0，③
聯(lián)立①，②，③，解得a=-5，b=2，r=3．
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+5）²+（y-2）²=9．
（Ⅱ）直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-9=k（x+2），即kx-y+2k+9=0，
圓心C（-5，2）到切線的距離d=$\frac{|-5k-2+2k+9|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3，∴k=$\frac{20}{21}$，
∴直線方程為20x-21y+229=0，
直線的斜率不存在時(shí)，即x=-2也滿足題意，
綜上所述，所求切線方程為x=-2或20x-21y+229=0．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．