Question

已知圓A：（x-2）²+y²=1，曲線B：6-x=

4-y2

和直線l：y=x．
（1）若點M、N、P分別是圓A、曲線B和直線l上的任意點，求|PM|+|PN|的最小值；
（2）已知動直線m：（a-2）x+by-2a+3=0（a，b∈R）與圓A相交于S、T兩點，又點Q的坐標是（a，b）．
①判斷點Q與圓A的位置關(guān)系；
②求證：當實數(shù)a，b的值發(fā)生變化時，經(jīng)過S、T、Q三點的圓總過定點，并求出這個定點坐標．

Answer 1

分析：（1）化簡曲線B得到它是以（6，0）為圓心、半徑r=2的圓的左半部分．作圓A關(guān)于直線l對稱的圓C，設(shè)M關(guān)于l的對稱點M₁，利用對稱的知識和三角形兩邊之和大于第三邊，可得當M₁、N、P三點共線時，|PM|+|PN|=|M₁N|達到最小值，再由兩圓的位置關(guān)系和距離公式加以計算，可得|PM|+|PN|的最小值；
（2）①由題意得點A到直線m的距離小于半徑，利用點到直線的距離公式列式解出|AQ|=

(a-2)2+b2

＞1，可得點Q在圓A的外部；
②利用直線的斜率公式，算出k_AQ•k_ST=-1，得AQ、ST互相垂直．設(shè)AQ、ST的交點為H，算出|AS|²=|AH|•|AQ|，從而得出AS⊥SQ，同理得到AT⊥TQ，所以A、S、T、Q四點在以AQ為直徑的圓上，由此可得過S、T、Q三點的圓總過定點A，得到答案．

解答：解：（1）化簡曲線B：6-x=

4-y2

，得（x-6）²+y²=4（x≤6）
∴曲線B是以（6，0）為圓心、半徑r=2的圓的左半部分．
作圓A關(guān)于直線l對稱的圓C：x²+（y-2）²=1，設(shè)M關(guān)于l的對稱點M₁，
則|PM|+|PN|=|PM₁|+|PN|≥|M₁N|，
當且僅當M₁、N、P三點共線時，等號成立．
∵|M₁N|的最小值為|CB|-1-2=

(6-0)2+(0-2)2

-3=2

10

-3，
∴|PM|+|PN|的最小值等于2

10

-3；
（2）①∵圓A的圓心A（2，0）到直線m的距離為
d=

|2(a-2)-2a+3|

(a-2)2+b2

=

1

(a-2)2+b2

＜1，
∴

(a-2)2+b2

＞1，可得點Q到圓心A的距離大于半徑，因此點Q在圓A的外部；
②∵AQ的斜率k_AQ=

b

a-2

，ST的斜率k_ST=-

a-2

b

∴k_AQ•k_ST=

b

a-2

•（-

a-2

b

）=-1，可得AQ、ST互相垂直．
設(shè)AQ、ST的交點為H，則
∵|AS|²=1，|AH|=

1

(a-2)2+b2

，|AQ|=

(a-2)2+b2

，
∴|AS|²=|AH|•|AQ|，可得AS⊥SQ．
同理可得AT⊥TQ，所以A、S、T、Q四點共圓，所在圓是以AQ為直徑的圓．
因此，經(jīng)過S、T、Q三點的圓必定經(jīng)過點A（2，0）．

點評：本題著重考查了直線的基本量與基本形式、圓的標準方程、點到直線的距離公式、圓的幾何性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．