【題目】已知函數(shù)，（其中a是常數(shù)）.

（1）求過點(diǎn)與曲線相切的直線方程；

（2）是否存在的實(shí)數(shù)，使得只有唯一的正數(shù)a，當(dāng)時(shí)不等式恒成立，若這樣的實(shí)數(shù)k存在，試求k，a的值；若不存在.請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）

（2）存在,,

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線斜率，進(jìn)而可求切線方程，
（2）假設(shè)存在的正實(shí)數(shù)，使得只有唯一的正數(shù)，當(dāng)時(shí)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，分類討論求的最小值，令其大于等于零，利用導(dǎo)數(shù)求出k，a的值即可．

解：（1）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，

因，則，

所以在處切線斜率為，

則在處切線方程為，

將代入切線方程得，所以，

所以切線方程為；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得只有唯一的正數(shù)，當(dāng)時(shí)不等式恒成立，即恒成立，

取，可知，

因?yàn)?/span>，，所以，令，

則，

由得.

（1）當(dāng)時(shí)，

時(shí)，，則在上為減函數(shù)，

時(shí)，，則在上為增函數(shù)，

則，

即，令，

則，由，得，

時(shí)，，則在區(qū)間上為減函數(shù)，

時(shí)，，則在區(qū)間上為增函數(shù)，

因此存在唯一的正數(shù)，使得，故只能.

所以，

所以，此時(shí)a只有唯一值.

（2）當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，

所以，則，

故.

所以滿足的a不唯一

綜上，存在實(shí)數(shù)，a只有唯一值，當(dāng)時(shí)，恒有原式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.與2016年相比，2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了1倍

C.與2016年相比，2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同

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（2）若該單位有職工200人，試估計(jì)職工一天行走步數(shù)不大于13000的人數(shù)；

（3）在（2）的條件下，該單位從行走步數(shù)大于15000的3組職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠(yuǎn)足拉練活動(dòng)，再從6人中選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊(duì)，求這兩人均來自區(qū)間（150，170]的概率．

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