Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，直線(xiàn)與平面所成的角的正切值為3，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.

（1）當(dāng)為何值時(shí)，平面?

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）取為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為，，軸建立空間直線(xiàn)坐標(biāo)系．利用正方形的性質(zhì)與已知可得：平面，于是平面．得到就是直線(xiàn)與平面平面所成的角，可得，利用，，解出即可．

（2）若，設(shè)平面的法向量為．利用，可得，又平面的法向量為．利用即可得出．

解：（1）取為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為，，軸建立空間直線(xiàn)坐標(biāo)系．

四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，．

，．

又易知平面，

，又，平面，平面．

平面．

就是直線(xiàn)與平面平面所成的角，

，

，

設(shè)，則點(diǎn)，0，，，0，，，6，，，0，，，0，．

，6，，，0，，，0，．

由，，

解得，由于．

故當(dāng)時(shí)，平面．

（2）若，則點(diǎn)，0，，，0，，，6，，

設(shè)平面的法向量為．

由，得

令，得，1，，又平面的法向量為，1，．

設(shè)二面角的大小為，則，

，．

即二面角的正切值為2．