Question

8．在Rt△AOB中，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，|$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{OB}$|=2$\sqrt{5}$，AB邊上的高為OD，D在AB上，點(diǎn)E位于線段OD上，若$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=$\frac{3}{4}$，則向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$
• B． 1
• C． 1或$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出AB、OD的長(zhǎng)，再根據(jù)數(shù)量積與投影的定義，列出方程求出結(jié)果．

解答 解：如圖所示，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即OA⊥OB，
∴AB=$\sqrt{{OA}^{2}{+OB}^{2}}$=5；
又OD為AB邊上的高，
∴OD⊥AB，
∴OD=$\frac{OA×OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{5}$=2，
∴$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{EA}$=|$\overrightarrow{OE}$|•|$\overrightarrow{EA}$|cos∠AED=|$\overrightarrow{OE}$|•|$\overrightarrow{ED}$|=$\frac{3}{4}$；
設(shè)|$\overrightarrow{ED}$|為x，則x（2-x）=$\frac{3}{4}$，
解得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{3}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{EA}$在向量$\overrightarrow{OD}$上的投影為|$\overrightarrow{ED}$|=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量的數(shù)量積與向量投影的定義和應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．