Question

由函數(shù)y=f（x）確定數(shù)列{a_n}，a_n=f（n），若函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）能確定數(shù)列{b_n}，b_n=f^-1（n），則稱(chēng)數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“反數(shù)列”．
（1）若函數(shù)f(x)=2

x

確定數(shù)列{a_n}的反數(shù)列為{b_n}，求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)（1）中{b_n}，不等式

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

＞

1

2

loga(1-2a)對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)cn=

1+(-1)λ

2

•3n+

1-(-1)λ

2

•(2n-1)(λ為正整數(shù))，若數(shù)列{c_n}的反數(shù)列為{d_n}，{c_n}與{d_n}的公共項(xiàng)組成的數(shù)列為{t_n}，求數(shù)列{t_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）f(x)=2

x

(x≥0)?an=2

n

，f-1(x)=

x2

4

(x≥0)，由此能求出數(shù)列{a_n}的反數(shù)列為{b_n}的通項(xiàng)公式．（2）把不等式化為

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)，Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增，所以（T_n）_min=T₁=1，要使不等式恒成立，只要1＞

1

2

loga(1-2a)，由此能求出使不等式對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立的a的取值范圍．
（3）設(shè)公共項(xiàng)t_k=c_p=d_n，k、p、q為正整數(shù)，當(dāng)λ為奇數(shù)時(shí)，t_n=2n-1，{t_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²．當(dāng)λ為偶數(shù)時(shí)，t_n=3ⁿ，{t_n}的前n項(xiàng)和Sn=

3

2

(3n-1)．

解答：解：（1）f(x)=2

x

(x≥0)?an=2

n

（n為正整數(shù)），f-1(x)=

x2

4

(x≥0)
所以數(shù)列{a_n}的反數(shù)列為{b_n}的通項(xiàng)bn=

n2

4

（n為正整數(shù)）（2分）
（2）對(duì)于（1）中{b_n}，不等式化為

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)..（3分）
Tn=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，
∴數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增，（5分）
所以（T_n）_min=T₁=1，要是不等式恒成立，只要1＞

1

2

loga(1-2a)．（6分）
∵1-2a＞0，∴0＜a＜

1

2

，又1-2a＞a2，0＜a＜

2

-1
所以，使不等式對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立的a的取值范圍是(0，

2

-1)..（8分）
（3）設(shè)公共項(xiàng)t_k=c_p=d_n，k、p、q為正整數(shù)，
當(dāng)λ為奇數(shù)時(shí)，cn=2n-1，dn=

1

2

(n+1)（9分）
2p-1=

1

2

(p+1)，q=4p-3，則{c_n}?{b_n}（表示{c_n}是{b_n}的子數(shù)列），t_n=2n-1
所以{t_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²..（11分）
當(dāng)λ為偶數(shù)時(shí)，c_n=3ⁿ，d_n=log₃n（12分）
3q=log₃q，則q=33p，同樣有{c_n}?{b_n}，t_n=3ⁿ
所以{t_n}的前n項(xiàng)和Sn=

3

2

(3n-1)（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法、實(shí)數(shù)的取值范圍和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)的合理運(yùn)用和分類(lèi)討論思想的靈活運(yùn)用．