【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量, ,其中為的兩個內(nèi)角.
(1)若,求證: 為直角;
(2)若,求證: 為銳角.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】試題分析:(1)借助平面向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式建立方程,然后運用誘導(dǎo)公式分析推證;(2)借助平面向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式建立方程,即,也即然后運用兩角和的正切公式分析推證,即:
(1)易得,
因為,所以,即.
因為,且函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)減函數(shù),
所以,即為直角.
(2)因為,所以,
即.
因為是三角形內(nèi)角,所以,
于是,因而中恰有一個是鈍角,∴,
從而,
所以,即證為銳角
注:(2)解得后,得與異號,
若,
則
于是,在中,有兩個鈍角和,這與三角形內(nèi)角和定理矛盾,不可能
于是必有,即證為銳角
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【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:①f(0)=0,②f(x)+f(1﹣x)=1,③f( )= f(x)且當(dāng)0≤x1<x2≤1時,f(x1)≤f(x2),則f( )+f( )等于( )
A.1
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2,它們所在平面互相垂直,F(xiàn)D⊥平面ABCD,且 .
(1)若∠BCD=60°,求證:BC⊥EF;
(2)若∠CBA=60°,求直線AF與平面FBE所成角的正弦值.
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【題目】如圖,已知拋物線C:y2=4x,過焦點F斜率大于零的直線l交拋物線于A、B兩點,且與其準(zhǔn)線交于點D.
(Ⅰ)若線段AB的長為5,求直線l的方程;
(Ⅱ)在C上是否存在點M,使得對任意直線l,直線MA,MD,MB的斜率始終成等差數(shù)列,若存在求點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),其中, 是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;
(3)若在恒成立,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為,且.
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,求證: 為定值;
(3)判斷數(shù)列中是否存在三項成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.
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【題目】給出下列命題中
① 非零向量滿足,則的夾角為;
②
>0是的夾角為銳角的充要條件;
③若則必定是直角三角形;
④△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為1,若,且,則向量在向量方向上的投影為.
以上命題正確的是 __________ (注:把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上)
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【題目】如圖所示的幾何體是由棱臺 和棱錐拼接而成的組合體,其底面四邊形是邊長為 的菱形,且 , 平面 , .
(1)求證:平面 平面 ;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù), ,(其中, 為自然對數(shù)的底數(shù), ……).
(1)令,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知在處取得極小值,求實數(shù)的取值范圍.
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