Question

【題目】已知F為拋物線E：（p＞0）的焦點(diǎn)，C（，1）為E上一點(diǎn)，且|CF|=2．過F任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線E于P，Q和M，N兩點(diǎn)，A，B分別為線段PQ和MN的中點(diǎn)．

（1）求拋物線E的方程及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）試問是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；

（3）證明直線AB經(jīng)過一個定點(diǎn)，求此定點(diǎn)的坐標(biāo)，并求△AOB面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線方程為，或 ；(2) 是定值，定值為；(3) 過定點(diǎn)；面積的最小值為6.

【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)和定義即可求出，代值計算即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，

設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為，設(shè)，，，，根據(jù)拋物線定義可得，，再分別聯(lián)立方程組根據(jù)韋達(dá)定理可得，，即可求出，

設(shè)，，由分別求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，求出直線AB的斜率，寫出直線方程，即可得到直線過定點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式可得表示三角形面積，根據(jù)基本不等式即可求出最值

解：拋物線E：的準(zhǔn)線方程為，

為E上一點(diǎn)，且，

，即，

拋物線方程為，

當(dāng)時，，

即或．

由可得，

設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為，

設(shè)，，，，

，，

由，，分別消x可得，，，

，

，

，

故是為定值，定值為．

設(shè)，，

，B分別為線段PQ和MN的中點(diǎn)，

由可得，，

，，

則直線AB的斜率為，

直線AB的方程為，即，

直線AB過定點(diǎn)，

點(diǎn)到直線的距離，

，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．

故面積的最小值為6．