Question

【題目】如圖①，有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長(zhǎng)為20cm的正方形，高為30cm，內(nèi)有20cm深的溶液．現(xiàn)將此容器傾斜一定角度（圖②），且傾斜時(shí)底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．

（1）要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出，角的最大值是多少？

（2）現(xiàn)需要倒出不少于的溶液，當(dāng)時(shí)，能實(shí)現(xiàn)要求嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出，的最大值是45°（2）不能實(shí)現(xiàn)要求，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）當(dāng)傾斜至上液面經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，容器內(nèi)溶液恰好不會(huì)溢出，此時(shí)最大．

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)剩余的液面為，比較與60°的大小后發(fā)現(xiàn)在上，計(jì)算此時(shí)倒出的液體體積，比小，從而得出結(jié)論．

（1）如圖③，當(dāng)傾斜至上液面經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，容器內(nèi)溶液恰好不會(huì)溢出，此時(shí)最大．

解法一：此時(shí)，梯形的面積等于，

因?yàn)?/span>，所以，，

即，解得，．

所以，要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出，的最大值是45°．

　　　　　　③

解法二：此時(shí)，的面積等于圖①中沒(méi)有液體部分的面積，即，

因?yàn)?/span>，所以

，即，

解得，．

所以，要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出，的最大值是45°．

（2）如圖④，當(dāng)時(shí)，設(shè)上液面為，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)F在線段上，

　　　　　　�、�

此時(shí)，，,

剩余溶液的體積為，

由題意，原來(lái)溶液的體積為，

因?yàn)?/span>，所以倒出的溶液不滿(mǎn)．

所以，要倒出不少于的溶液，當(dāng)時(shí)，不能實(shí)現(xiàn)要求．