【題目】已知F1(﹣c,0)、F2(c,0)分別是橢圓G: 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M是橢圓上一點(diǎn),且MF2⊥F1F2 , |MF1|﹣|MF2|= a.
(1)求橢圓G的方程;
(2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點(diǎn),以AB為底作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(﹣3,2),求△PAB的面積.
【答案】
(1)解:∵|MF1|﹣|MF2|= a,|MF1|+|MF2|=2a,
∴|MF1|= ,|MF2|= ,
∵M(jìn)F2⊥F1F2,∴ .
即 ,則 ,
∵c2=a2﹣4,∴a2=12,
∴橢圓
(2)解:設(shè)直線l的方程為y=x+m.
由 ,得4x2+6mx+3m2﹣12=0.①
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)(x1<x2),AB的中點(diǎn)為E(x0,y0),
則 , .
∵AB是等腰△PAB的底邊,∴PE⊥AB.
∴PE的斜率 ,解得m=2.
此時(shí)方程①為4x2+12x=0,解得x1=﹣3,x2=0,∴y1=﹣1,y2=2,
∴|AB|=3 .
此時(shí),點(diǎn)P(﹣3,2)到直線AB:x﹣y+2=0的距離d= ,
∴△PAB的面積S=
【解析】(1)本題關(guān)鍵是由MF2⊥F1F2得到|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2;(2)設(shè)出直線l的方程,借助一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示出PE的斜率,再結(jié)合PE⊥AB求得直線l的方程,即可求得三角形PAB的面積.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線與直線,其中為常數(shù).
(1)若,求的值;
(2)若點(diǎn)在上,直線過(guò)點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面, 為等邊三角形, 且, 分別為的中點(diǎn).
(1)求證: 平面.
(2)求證:平面平面.
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且
(1)求證:不論為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;
(2)當(dāng)λ為何值時(shí),平面BEF⊥平面ACD ?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知, .
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值;
(2)對(duì)任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】語(yǔ)句p:曲線x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0表示圓;語(yǔ)句q:曲線 + =1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,若p∨q為真命題,¬p為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間,使得該函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>,則稱函數(shù)是該定義域上的“和諧函數(shù)”.
(1)求證:函數(shù)是“和諧函數(shù)”;
(2)若函數(shù)是“和諧函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),圓.
(Ⅰ)若直線過(guò)點(diǎn)且到圓心的距離為1,求直線的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)(的斜率為正),當(dāng)時(shí),求以線段為直徑的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中正確的是__________.(填上所有正確命題的序號(hào))
①若, ,則; ②若, ,則;
③若, ,則; ④若, , , ,則.
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