【題目】如圖，四棱錐中，是等邊三角形，底面是直角梯形，，，，，，分別是，的中點(diǎn).

（1）①求證：平面；

②求線段的長(zhǎng)度；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）①詳見(jiàn)解析；②；（2）.

【解析】

（1）①通過(guò)證明面面，再利用面面平行的性質(zhì)得證；②由余弦定理求解即可；

（2）法一：作出圖象，設(shè)到平面的距離設(shè)為，利用等體積法求出，進(jìn)而可得直線與平面所成角的正弦值為．

法二：利用面面垂直的判定定理可證出平面平面，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)空間向量法，求出直線與平面所成角的正弦值.

解：（1）①證明：取中點(diǎn)，

則，，

∵，，

∴平面平面，

∴平面.

②由①可知：

，，，

由余弦定理得到：

.

（2）解法一：∵，，

∴，

又，，

∴平面，

∴平面平面，

延長(zhǎng)到，使得，

則面，，

∵，，

∴，

∵是的中點(diǎn)，.

到平面的距離設(shè)為，

體積法求得：

，

∴，

∴.

解法二：∵，，

∴，

又，，

∴平面，

∴平面平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，得到

，，，

延長(zhǎng)到，使得，

則面，，

則，，

∴，由于，，

則法向量，

∴直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線l過(guò)點(diǎn)且與垂直，垂足為P.

（1）當(dāng)時(shí)，求及l的極坐標(biāo)方程；

（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知0＜x＜2，0＜y＜2，且M＝+則M的最小值為（　　）

A.B.C.2D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是菱形，且，其對(duì)角線、交于點(diǎn)， 、是棱、上的中點(diǎn).

（1）求證：面面；

（2）若面底面， ， ， ，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不在x軸上），若，延長(zhǎng)AO交橢圓與點(diǎn)G，求四邊形AGBE的面積S的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，且的面積為16（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求C的方程.

（2）直線l經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)F且l不與x軸垂直；l與C交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)D，試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)E，使為定值？若存在，求該定值及E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】自湖北武漢爆發(fā)新型冠狀病毒肺炎疫情以來(lái)，各地醫(yī)療物資缺乏，各生產(chǎn)企業(yè)紛紛加班加點(diǎn)生產(chǎn)，某企業(yè)準(zhǔn)備購(gòu)買三臺(tái)口罩生產(chǎn)設(shè)備，型號(hào)分別為A，B，C，已知這三臺(tái)設(shè)備均使用同一種易耗品，提供設(shè)備的商家規(guī)定：可以在購(gòu)買設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買該易耗品，每件易耗品的價(jià)格為100元；也可以在設(shè)備使用過(guò)程中，隨時(shí)單獨(dú)購(gòu)買易耗品，每件易耗品的價(jià)格為200元．為了決策在購(gòu)買設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買的易耗品的件數(shù)，該單位調(diào)查了這三種型號(hào)的設(shè)備各60臺(tái)，調(diào)查每臺(tái)設(shè)備在一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計(jì)表如下所示．

每臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù)

6

7

8

頻數(shù)

型號(hào)A

30

30

0

型號(hào)B

20

30

10

型號(hào)C

0

45

15

將調(diào)查的每種型號(hào)的設(shè)備的頻率視為概率，各臺(tái)設(shè)備在易耗品的使用上相互獨(dú)立．

（1）求該單位一個(gè)月中A，B，C三臺(tái)設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過(guò)21件（不包括21件）的概率；

（2）以該單位一個(gè)月購(gòu)買易耗品所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購(gòu)買設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買20件還是21件易耗品?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市對(duì)全市高二學(xué)生的期末數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)顯示，全市10000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布.現(xiàn)從甲校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>100分以上（含100分）的共200份試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了20份試卷進(jìn)行分析（試卷編號(hào)為001，002，…，200），成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：

試卷編號(hào)

試卷得分

109

118

112

114

126

128

127

124

126

120

試卷編號(hào)

試卷得分

135

138

135

137

135

139

142

144

148

150

注：表中試卷編.

（1）寫(xiě)出表中試卷得分為144分的試卷編號(hào)（寫(xiě)出具體數(shù)據(jù)即可）；

（2）該市又用系統(tǒng)抽樣的方法從乙校中抽取了20份試卷，將甲乙兩校這40份試卷的得分制作成如圖所示的莖葉圖，在這40份試卷中，從成績(jī)?cè)?/span>140分以上（含140分）的學(xué)生中任意抽取3人，這3人中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谌信琶?/span>15名的人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.

附：若，則，，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品，獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng)，同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司2013年至2019年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線性相關(guān)):

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

年份代號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

年利潤(rùn) (單位:億元)

（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2020年(年份代號(hào)記為)的年利潤(rùn)；

（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí)，稱該年為級(jí)利潤(rùn)年，否則稱為級(jí)利潤(rùn)年.將中預(yù)測(cè)的該公司2020年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值，現(xiàn)從2015年至2020年這年中隨機(jī)抽取年，求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.

參考公式:

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