Question

10．偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x，則關(guān)于x的方程f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^x在x∈[0，4]上解的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 關(guān)于x的方程f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^x在x∈[0，4]上解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=f（x）和y=（${\frac{1}{2}}$）^x的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
故函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，
又由函數(shù)f（x）為定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，
且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x，
故在[0，4]上，函數(shù)y=f（x）和y=（${\frac{1}{2}}$）^x的圖象如下所示

由圖可知：兩個(gè)函數(shù)的圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，
故f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^x在x∈[0，4]上解的個(gè)數(shù)是4，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．