Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率e=

2

3

，A、B是橢圓上關(guān)于x、y軸均不對(duì)稱的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P（1，0）．
（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為C（x₀，y₀），求x₀的值；
（2）若F是橢圓的右焦點(diǎn)，且AF+BF=3，求橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）首先，根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)C的坐標(biāo)，寫出它們的斜率，再根據(jù)離心率關(guān)系，化簡(jiǎn)橢圓的方程，利用點(diǎn)差法求x₀的值；
（2）直接根據(jù)橢圓的焦半徑公式進(jìn)行求解，確定a=3，然后，結(jié)合離心率關(guān)系，得到其方程．

解答： 解：（1）線段AB的垂直平分線的斜率Kcp=

n-0

m-1

，
∴直線AB的斜率Kab=

1-m

n

，
∵e=

2

3

，
∴c2=

4a2

9

，
∴b2=a2-c2=

5a2

9

，把它代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，
得5x²+9b²-5a²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則5x₁²+9y₁²-5a²=0，①
5x₂²+9y₂²-5a²=0，②
①-②得5（x₁+x₂）（x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵x₁+x₂=2m，y₁+y₂=2n，（y₁-y₂）/（x₁-x₂）=Kab，
∴5m+9n×=

1-m

n

=0，
∴m=

9

4

．
（2）橢圓的焦半徑|AF|=a-ex₁，|BF|=a-ex₂，
∵|AF|+|BF|=3，
∴2a-

2

3

（x₁+x₂）=3，
∴2a=6，a=3，
∴橢圓的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的方程、橢圓的圖形和幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．