Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x-a（a∈R）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在x₀∈[-1，0]，使得f（f（x₀））=x₀，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$（1+ln2），1]．

Answer 1

分析 利用反函數(shù)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再將解方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答 解：∵存在x₀∈[-1，0]，使得f（f（x₀））=x₀，
∴存在x₀∈[-1，0]，使得f（x₀）=f^-1（x₀），
即函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）在[-1，0]上有交點(diǎn)．
∵f（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x-a在[-1，0]上為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）在[-1，0]的交點(diǎn)在直線y=x上，
即函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）的交點(diǎn)就是f（x）與y=x的交點(diǎn)．
令：e^x+$\frac{1}{2}$x-a=x，則方程在[-1，0]上一定有解，
∴a=e^x-$\frac{1}{2}$x，
設(shè)g（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x，
則g′（x）=e^x-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)-1＜x＜-ln2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（-1，-ln2）遞減；
當(dāng)-ln2＜x＜0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（-ln2，0）遞增．
當(dāng)x=-ln2時(shí)，g（x）取得極小值，也為最小值$\frac{1}{2}$（1+ln2）；
g（-1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{e}$，g（0）=1，即有g(shù)（x）的最大值為1．
綜上可知，[$\frac{1}{2}$（1+ln2），1]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$（1+ln2），1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．