Question

假設(shè)p、q都是奇數(shù)，求證：關(guān)于x的方程x²＋px＋q＝0無(wú)整數(shù)根.

 

Answer 1

答案：
解析：

證法一：只有在Δ＝p2－4q＝（p－m）2時(shí)((p－m)2表示完全平方數(shù),其中由－4q＝－2pm＋m2可知m應(yīng)為偶數(shù))才可能有整數(shù)根.化簡(jiǎn)上式得出p與q的關(guān)系：q＝p·－（）2，因p是奇數(shù)，不論是怎樣的整數(shù)，都可得q為偶數(shù)，這與已知q為奇數(shù)相矛盾，則判別式Δ的值不會(huì)是一個(gè)完全平方數(shù)，故方程無(wú)整數(shù)根. 證法二：假設(shè)方程有整數(shù)根α，無(wú)論α是奇數(shù)還是偶數(shù)，都必有α2＋pα＋q為奇數(shù)，這與α2＋pα＋q＝0矛盾.故方程無(wú)整數(shù)根.