Question

已知△ABC的周長為6，成等比數(shù)列，求：
（1）△ABC的面積S的最大值；
（2）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出三向量的模分別為a，b及c，根據(jù)周長為6列出關(guān)于a+b+c=6，再由a，b及c成等邊數(shù)列，根據(jù)等邊數(shù)列的性質(zhì)得到b²=ac，然后由余弦定理表示出cosB，把b²=ac代入，并利用基本不等式求出cosB的最小值，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象得到B的范圍，同時由b=及基本不等式列出關(guān)于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范圍，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊列出不等式，由三角形的周長及b²=ac，得到關(guān)于b的一元二次不等式，求出不等式的解集可得b的范圍，
（1）由a，b及sinB，根據(jù)三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把ac化為b²后，根據(jù)b的最大值及B度數(shù)的最大值，得到S的最大值即可；
（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算法則表示出得到一個關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosB后，代入表示出的關(guān)系式中，配方并根據(jù)周長及b²=ac化為關(guān)于b的關(guān)系式，再配方得到關(guān)于b的二次函數(shù)，由自變量b的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到函數(shù)值的范圍，即為的取值范圍．
解答：解：設(shè)依次為a，b，c，則a+b+c=6，b²=ac，
由余弦定理得，故有，
又，從而0＜b≤2
∵△ABC三邊依次為a，b，c，則a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，，
∴，
（1）所以，即；
（2）所以
=，
∵，
∴．
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有等比數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，基本不等式，一元二次不等式的解法，三角形的面積公式，平面向量的數(shù)量積運算，以及二次函數(shù)最值的求法，其中根據(jù)余弦定理，等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的解法得出B及b的范圍是解本題的關(guān)鍵．