Question

如圖：矩形ABCD，PD⊥平面ABCD，PD=DA，E、F分別是CD、PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥平面PAB；
（2）（理）若AB=

2

BC，求二面角P-AC-D的大�。�
     （文）求PD與平面PAB所成的角．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線所在的向量與平面內(nèi)兩條相交直線所在的向量，再利用向量的運(yùn)算得到其數(shù)量積均為0，進(jìn)而得到線面垂直．
（2）（理）由題意可設(shè)|AB|=

2

，BC=1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，連PH，根據(jù)線面垂直可證明∠PHD為二面角的平面角θ，再利用技術(shù)三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案即可．
（3）過(guò)D作DM⊥PA于M（M為PA的中點(diǎn)），根據(jù)線面垂直的偶的定理可得：AB⊥平面PAD，再結(jié)合面面垂直的判定定理可得：平面PAB⊥平面PAD，然后結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得：DM⊥面PAB，
得到∠DPM為PD與平面PAB所成的角，進(jìn)而利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案即可．

解答：解：（1）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)|AB|=a，|PD|=|DA|=1，所以E（0，

a

2

，

1

2

），F(xiàn)（

1

2

，

a

2

，

1

2

），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，a，0），
所以

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

PA

=(a，1，-1)，

AB

=(a，0，0)，
所以

EF • PA =0 EF • AB =0

，
所以EF⊥面PAB．
（2）（理）由題意可設(shè)|AB|=

2

，BC=1，
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，連PH，
因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以AC⊥PD，
所以∠PHD為二面角的平面角θ，
在Rt△PDH中，|PD|=1，|DH|=

|CD|•|AD|

|AC|

=

6

3

，
所以tan∠PHD=

PD

DH

=

1

6 3

=

6

2

，
所以θ=arctan

6

2

，即二面角的大小為arctan

6

2

．
（文）過(guò)D作DM⊥PA于M（M為PA的中點(diǎn)），
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，
所以AB⊥AD，
又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥PD，
所以根據(jù)線面垂直的判定定理可得：AB⊥平面PAD．
因?yàn)锳B?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD，
又因?yàn)槠矫鍼AB∩平面PAD=AP，DM⊥PA，DM?平面PAD，
所以DM⊥面PAB，
所以∠DPM為PD與平面PAB所成的角，
在Rt△PDH中，|PD|=1，|PM|=

2

2

，
所以PD與平面PAB所成的角為

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量的數(shù)量積證明線面垂直，以及求二面角的平面角與線面角，而空間角解決的關(guān)鍵是做角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來(lái)，是求角的關(guān)鍵，此題也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識(shí)解決空間角等問(wèn)題．