Question

5．已知函數(shù)f（x）=2e^xln$\sqrt{e}$-kx（e=2.17128…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （e，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=a-e^x，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)圖象與橫軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判定零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：函數(shù)f（x）=2e^xln$\sqrt{e}$-kx=f（x）=e^x-kx 其定義域?yàn)椋篟
 f′（x）=k-e^x．
當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在R上單調(diào)遞減，最多存在一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)k＞0時(shí)，由f′（x）=0解得x=lnk，
當(dāng)x＞lnk時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＜lnk時(shí)，f′（x）＞0．
故f（x）在x=lnk處取得最大值f（lnk）=alnk-k，
∵f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，
∴f（lnk）=alnk-k＞0，
k＞e，即a的取值范圍是（e，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題