Question

（2012•西城區(qū)二模）對(duì)數(shù)列{an}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an+k=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+…+λkan成立，其中n∈N*，則稱{an}為k階遞歸數(shù)列．給出下列三個(gè)結(jié)論：

①若{an}是等比數(shù)列，則{an}為1階遞歸數(shù)列；

②若{an}是等差數(shù)列，則{an}為2階遞歸數(shù)列；

③若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則{an}為3階遞歸數(shù)列．

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

Answer 1

D

【解析】

試題分析：利用等差數(shù)列、等比數(shù)列和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為的性質(zhì)，根據(jù)k階遞歸數(shù)列的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷，能夠求出結(jié)果．

【解析】
①∵{an}是等比數(shù)列，

∴an=，an+1=qan，

∴?k=1，λ=q，使an+k=qan+k﹣1成立，

∴{an}為1階遞歸數(shù)列，故①成立；

②∵{an}是等差數(shù)列，

∴an=a1+（n﹣1）d，

∴?k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使an+2=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2成立，

∴{an}為2階遞歸數(shù)列，故②成立；

③∵若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，

∴?k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使an+3=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+λ3an+k﹣3成立，

∴{an}為3階遞歸數(shù)列，故③成立．

故選D．