Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，直線l經(jīng)過點(diǎn)P（6，7），傾斜角為α，且cosα=

4

5

．
①化曲線C的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
②求直線l的參數(shù)方程，并判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：①直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系，化曲線C的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
②化簡直線l的參數(shù)方程為普通方程，利用圓心到直線的距離與半徑比較，即可判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系．

解答： 解：①由ρ=2，得ρ²=4，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4，（2分）

②直線的傾斜角α∈（0，π），又cosα=

4

5

＞0，故sinα=

3

5

，
∴直線l的參數(shù)方程為

x=6+ 4 5 t y=7+ 3 5 t

（t為參數(shù)），（4分）
把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程得（6+

4

5

t）²+（7+

3

5

t）²=4，
整理得，t²+18t+81=0，
∵△=18²-4×81=0，
∴直線l與圓C相切．（7分）

點(diǎn)評：本題考查參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查參數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．