Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=（1-2t）x+t²-1，當(dāng)a=1，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（-2，4）內(nèi)有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（2）當(dāng)a＞0，求證對(duì)任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

；
（3）若x∈[0，1]時(shí)，-1≤f（x）≤1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1，函數(shù)h（x）=x²+（2-2t）x+t²-1，由題意可得

h(-2)=t2+4t-1＞0 h(4)=t2-8t+23＞0 h(t-1)=2t-2 ＜0

，由此求得實(shí)數(shù)t的取值范圍
（2）計(jì)算f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)，化簡(jiǎn)可得

1

2

a(x1-x2)2＞0，從而證得結(jié)論．
（3）由題意可得x∈[0，1]時(shí)，-1≤ax²+x≤1，當(dāng)x=0時(shí)，顯然成立．當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，由ax²+x+1≥0恒成立，求得a≥-2；由ax²+x-1≤0恒成立，求得a≤0．再由a不等于0，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=1，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）=x²+（2-2t）x+t²-1．
由題意可得

h(-2)=t2+4t-1＞0 h(4)=t2-8t+23＞0 h(t-1)=2t-2 ＜0

，即

t＜-2- 5 ，  或 t＞-2+ 5 t∈R t＜1

，解得-2+

5

＜t＜1．
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-2+

5

，1）．
（2）∵f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)=a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2-2[a(

x1+x2

2

)2+a(

x1+x2

2

)] 
=

1

2

a(x1-x2)2＞0，
故對(duì)任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（3）由題意可得x∈[0，1]時(shí)，-1≤f（x）≤1，即-1≤ax²+x≤1，
即x∈[0，1]時(shí)，ax²+x+1≥0且ax²+x-1≤0恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，顯然，ax²+x+1≥0且ax²+x-1≤0均成立．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，由ax²+x+1≥0恒成立，得a≥-

1

x2

-

1

x

=-(

1

x

+

1

2

)2+

1

4

，
而-(

1

x

+

1

2

)2+

1

4

在x∈（0，1]最大值為-2，∴a≥-2．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，由ax²+x-1≤0恒成立，得a≤

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

，
而(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

在x∈（0，1]最小值為0，∴a≤0．
綜上可得，-2≤a≤0．
而由題意可得a≠0，因此所求的a的取值范圍為[-2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．