【題目】如圖,邊長為3的正方形所在平面與等腰直角三角形所在平面互相垂直, ,且, .
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析 (Ⅱ)所求二面角的余弦值為
【解析】試題分析:(Ⅰ)考查的是直線與平面平行的判定定理.添加輔助線證明過程中可知平面, 平面,所以只需重點(diǎn)是證明 (Ⅱ)考查的是利用平面法向量求二面角的方法.觀察圖象結(jié)合已知可知剛好可建立一個坐標(biāo)系,從而可得 , , , ,進(jìn)而可得的法向量 和的法向量 ,最后利用公式求出二面角的余弦值.
試題解析:
(Ⅰ)過作交于,連接因?yàn)?/span>, ,所以 又,所以故,
所以四邊形為平行四邊形,故,
而平面, 平面,所以平面;
(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在方向?yàn)?/span>軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,
則, , ,
平面的法向量為,
設(shè)平面的法向量為,則,即,
不妨設(shè),則,
所求二面角的余弦值為.
【點(diǎn)晴】
在利用線面平行的的判定定理時不僅要關(guān)注兩直線直線平行而且另外兩個條件(一直線在平面內(nèi),一直線在平面外)也不容忽視,大多數(shù)情況下這兩個條件在作圖(添加輔助線)時就可以清楚表達(dá)出,一般不需要單獨(dú)證明,但也不能想當(dāng)然,要仔細(xì)觀察,再得出結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)B是以AC為直徑的圓周上的一點(diǎn),PA=AB=BC,AC=4,PA⊥平面ABC,點(diǎn)E為PB中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面AEC⊥平面PBC;
(Ⅱ)求直線AE與平面PAC所成角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解某學(xué)校高二年級學(xué)生的物理成績,從中抽取n名學(xué)生的物理成績(百分制)作為樣本,按成績分成 5組:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],頻率分布直方圖如圖所示.成績落在[70,80)中的人數(shù)為20.
男生 | 女生 | 合計(jì) | |
優(yōu)秀 | |||
不優(yōu)秀 | |||
合計(jì) |
(Ⅰ)求a和n的值;
(Ⅱ)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,估計(jì)該校高二學(xué)生物理成績的平均數(shù)和中位數(shù)m;
(Ⅲ)成績在80分以上(含80分)為優(yōu)秀,樣本中成績落在[50,80)中的男、女生人數(shù)比為1:2,成績落在[80,100]中的男、女生人數(shù)比為3:2,完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為物理成績優(yōu)秀與性別有關(guān).
參考公式和數(shù)據(jù):K2= .
P(K2≥k) | 0.50 | 0.05 | 0.025 | 0.005 |
k | 0.455 | 3.841 | 5.024 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某連鎖經(jīng)營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表
商店名稱 | A | B | C | D | E |
銷售額x(千萬元) | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利潤額y(百萬元) | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)畫出散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖,說明兩個變量有怎樣的相關(guān)性.
(2)用最小二乘法計(jì)算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程.
(3)當(dāng)銷售額為4(千萬元)時,估計(jì)利潤額的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四個數(shù),前三個數(shù)成等比數(shù)列,和為19,后三個數(shù)成等差數(shù)列,和為12,求此四個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定:居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米,PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米.我市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時平均濃度(單位:微克/立方米)的監(jiān)測數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表
組別 | PM2.5濃度 | 頻數(shù)(天) | 頻率 |
第一組 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二組 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三組 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四組 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(1)從樣本中PM2.5的24小時平均濃度超過50微克/立方米的天數(shù)中,隨機(jī)抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度超過75微克/立方米的概率;
(2)將這20天的測量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖. ①求圖中a的值;
②求樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,從PM2.5的年平均濃度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)所示,已知四邊形是由直角△和直角梯形拼接而成的,其中
.且點(diǎn)為線段的中點(diǎn), , 現(xiàn)將△沿進(jìn)行翻折,使得二面角
的大小為,得到圖形如圖(2)所示,連接,點(diǎn)分別在線段上.
(1)證明: ;
(2)若三棱錐的體積為四棱錐體積的,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是空間兩條直線, 是空間兩個平面,則下列命題中不正確的是( )
A. 當(dāng)時,“”是“”的充要條件
B. 當(dāng)時,“”是“”的充分不必要條件
C. 當(dāng)時,“”是“”的必要不充分條件
D. 當(dāng)時,“”是“”的充分不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]以平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同長度單位,已知曲線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù),且),曲線的極坐標(biāo)方程為
(1)求的極坐標(biāo)方程與的直角坐標(biāo)方程;
(2))若P是上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線交于點(diǎn)M,N,求的取值范圍.
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