3.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0)$的離心率為$e=\frac{1}{2}$,直線x+2y-1=0經(jīng)過橢圓的一個焦點;
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓右焦點F的直線l(與坐標(biāo)軸均不垂直)交橢圓于A、B兩點,點B關(guān)于x軸的對稱點為P;問直線AP是否恒過定點?若是,求出定點坐標(biāo);若不是,請說明理由.

分析 (1)利用已知條件求出c,通過離心率求出a,求出b,即可得到橢圓的方程.
(2)設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理,通過點B關(guān)于x軸的對稱點為P,列出關(guān)系式,利用直線系,推出定點坐標(biāo).

解答 解:(1)橢圓焦點在x軸上,直線與x軸交于點(1,0),c=1;
由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$,∴$a=2,b=\sqrt{3}$
所求橢圓方程為:$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$….(4分)
(2)設(shè)直線l:x=my+1;A(x1,y1),B(x2,y2),P(x2,-y2
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ 3{x^2}+4{y^2}-12=0\end{array}\right.$,得:(3m2+4)y2+6my-9=0,
$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}\\{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}\end{array}\right.$,知:2my1y2=3(y1+y2)…(6分)
直線$AP:y+{y_2}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}(x-{x_2})$,
∴m(y1-y2)y+2my1y2+(y1+y2)-(y1+y2)x=0
即:m(y1-y2)y+4(y1+y2)-(y1+y2)x=0,
∴m(y1-y2)y-(y1+y2)(x-4)=0
所以:直線l恒過點(4,0)…..(12分)

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,橢圓的方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

練習(xí)冊系列答案
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13.如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2$\sqrt{3}$,BC=6.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求平面PBD與平面BDA的夾角.

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14.已知圓F1:(x+$\sqrt{3}$)2+y2=16,圓心為F1,定點F2($\sqrt{3}$,0),P為圓F1上一點,線段PF2的垂直平分線與直線PF1交于點Q.
(1)求點Q的軌跡C的方程;
(2)過點(0,2)的直線l與曲線C交于不同的兩點A和B,且滿足∠AOB<90°(O為坐標(biāo)原點),求直線l斜率的取值范圍.

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11.已知直線l與圓C:x2+y2+2x-4y+a=0相交于A,B兩點,弦AB的中點為M(0,1).
(1)求實數(shù)a的取值范圍以及直線l的方程;
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18.如圖四邊形ABCD是邊長為2的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且NB=MD=2,E為BC的中點.
(I)求異面直線NE與AM所成角的余弦值;
(II)求二面角N-AM-D的余弦值.

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8.已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{10}cosα\\ y=\sqrt{10}sinα\end{array}\right.$(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為$ρcos({θ-\frac{π}{4}})=2\sqrt{2}$
(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點P是曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離d的取值范圍.

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15.關(guān)于θ的方程$\sqrt{3}$cosθ+sinθ+a=0在(0,2π)內(nèi)有兩相異實根α、β,則α+β的值為$\frac{π}{3}$或$\frac{7π}{3}$.

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12.若An=$\overline{{a_1}{a_2}…{a_n}}$(ai=0或1,i=1,2,…n),則稱An為0和1的一個n位排列,對于An,將排列$\overline{{a_n}{a_1}{a_2}…{a_{n-1}}}$記為R1(An);將排列$\overline{{a_{n-1}}{a_n}{a_1}{a_2}…{a_{n-2}}}$記為R2(An);依此類推,直至Rn(An)=An.對于排列An和Ri(An)(i=1,2,…n-1),它們對應(yīng)位置數(shù)字相同的個數(shù)減去對應(yīng)位置數(shù)字不同的個數(shù),叫做An和Ri(An)的相關(guān)值,記作t(An,Ri(An)),
(Ⅰ)例如A3=$\overline{110}$,則R1(A3)=$\overline{011}$,t(A3,R1(A3))=-1;
若t(An,Ri(An))=-1(i=1,2,…n-1),則稱An為最佳排列
(Ⅱ)當(dāng)n=3,寫出所有的n位排列,并求出所有的最佳排列A3;
(Ⅲ)證明:當(dāng)n=5,不存在最佳排列A5

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13.定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為f(x)的上界.已知函數(shù)$f(x)=1+a{(\frac{2})^x}+{(\frac{c}{4})^x}$.
(Ⅰ)當(dāng)a=b=c=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否有上界,請說明理由;
(Ⅱ)若b=c=1,函數(shù)f(x)在[0,+∞)是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
(Ⅲ)已知s為正整數(shù),當(dāng)a=1,b=-1,c=0時,是否存在整數(shù)λ,使得對任意的n∈N,不等式s≤λf(n)≤s+2恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

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