已知離心率為的橢圓的頂點(diǎn)恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)，在焦點(diǎn)在軸上的橢圓上求一點(diǎn)Q，使該點(diǎn)到直線（的距離最大。
（3）試判斷乘積“（”的值是否與點(diǎn)（的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；

(1)（或（；(2) （；(3) 的值與點(diǎn)的位置無關(guān)

解析試題分析：（1）注意要分類討論，頂點(diǎn)是短軸頂點(diǎn)，還是長軸頂點(diǎn)；(2)橢圓上到（距離最大的點(diǎn)是與直線（平行且與橢圓相切的點(diǎn)；（3）利用點(diǎn)P在橢圓上滿足橢圓方程，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，帶入橢圓方程，通過變形，即可知（=，與k無關(guān).
試題解析：（1）雙曲線（的左右焦點(diǎn)為（,即（的坐標(biāo)分別為（.  所以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（,則（,
且（,所以（,從而（,
所以橢圓（的標(biāo)準(zhǔn)方程為（或（
(2) 當(dāng)（時(shí)，（，故直線（的方程為（即（，
設(shè)與（平行的直線方程為：x+2y+m=0，即x=-2y-m，代入橢圓方程得：，
 ，∵求距離最大，∴，代入方程，解得：，∴點(diǎn)Q（；
（3）設(shè)則，即 
.所以的值與點(diǎn)的位置無關(guān)，恒為.
考點(diǎn)：（1）橢圓雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)，長軸的左、右端點(diǎn)分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過焦點(diǎn)斜率為（）的直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線與軸相交于點(diǎn). 試問橢圓上是否存在點(diǎn)使得四邊形為菱形？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，，，在第三象限，線段的中點(diǎn)在直線上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦距為，過右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程.
（2）設(shè)斜率為的直線與相交于、兩點(diǎn)，記面積的最大值為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其左、右頂點(diǎn)分別是、，左、右焦點(diǎn)分別是、，（異于、）是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接交直線于、兩點(diǎn),若成等比數(shù)列.

（1）求此橢圓的離心率；
（2）求證:以線段為直徑的圓過點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，其長軸長與短軸長的和等于6．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線分別交軸于點(diǎn)，若直線與過點(diǎn)的圓相切，切點(diǎn)為．證明：線段的長為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F和橢圓的右焦點(diǎn)重合,直線過點(diǎn)F交拋物線于A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線交y軸于點(diǎn)M,且,m、n是實(shí)數(shù),對于直線,m+n是否為定值?
若是,求出m+n的值；否則,說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4，其中C1：，C2：. 設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．問k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A(2，2)，其焦點(diǎn)F在x軸上．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；
(3)設(shè)過點(diǎn)M(m，0)(m>0)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)，ME＝2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為f(m)，求f(m)關(guān)于m的表達(dá)式．

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同步練習(xí)冊答案