Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-

1

12

x³+

1

6

mx²+

3

2

x，g（x）=

1

2

mx²-x+c，F(xiàn)（x）=xf（x）．
（Ⅰ） 若函數(shù)y=f（x）在x=2處有極值，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ） 試討論方程y=F′（x）=g（x）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）記函數(shù)y=G（x）的導(dǎo)稱函數(shù)G′（x）在區(qū)間（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為G′′（x），若在（a，b）上G′′（x）＞0恒成立，則稱函數(shù)G（x）（a，b）上為“凹函數(shù)”．若存在實(shí)數(shù)m∈[-2，2]，使得函數(shù)F（x）在（a，b）上為“凹函數(shù)”，求b-a最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）在x=2處有極值，可得f′(2)=

2

3

m+

1

2

=0，從而可求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ） 由題意y=F′（x）=f（x）+xf′（x）=-

1

12

x³+

1

6

mx²+

3

2

x-

1

4

x3 +

1

3

mx2+

3

2

x=-

1

3

x3 +

1

2

mx2+3x=

1

2

mx²-x+c
，即-

1

3

x3 +4x-c=0，構(gòu)造函數(shù)h(x)=-

1

3

x3 +4x-c，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值，進(jìn)而分類討論，即可得到方程y=F′（x）=g（x）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）由（Ⅱ） 知F′（x）=-

1

3

x3 +

1

2

mx2+3x，所以F″（x）=-x²+mx+3，利用新定義，即可求得b-a最大值．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=-

1

4

x2 +

1

3

mx+

3

2

∵函數(shù)y=f（x）在x=2處有極值，
∴f′(2)=

2

3

m+

1

2

=0
∴m=-

3

4

；
（Ⅱ） 由題意y=F′（x）=f（x）+xf′（x）=-

1

12

x³+

1

6

mx²+

3

2

x-

1

4

x3 +

1

3

mx2+

3

2

x=-

1

3

x3 +

1

2

mx2+3x=

1

2

mx²-x+c
，即-

1

3

x3 +4x-c=0
令h(x)=-

1

3

x3 +4x-c，∴h′（x）=-x²+4
令h′（x）=-x²+4＞0，可得-2＜x＜2；令h′（x）=-x²+4＜0，可得x＜-2，或x＞2；
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-2，2），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞）
∴x=-2時(shí)，函數(shù)取得極小值為h(-2)=-

16

3

-c；x=2時(shí)，函數(shù)取得極大值為h(2)=

16

3

-c
∴當(dāng)極小值大于0或極大值小于0，即h(-2)=-

16

3

-c＞0或h(2)=

16

3

-c＜0，即c＜-

16

3

或c＞

16

3

時(shí)，方程-

1

3

x3 +4x-c=0有唯一解；
當(dāng)極小值或極大值等于0，即c=±

16

3

時(shí)，方程-

1

3

x3 +4x-c=0有兩個(gè)解；
當(dāng)極小值小于0且極大值大于0，即-

16

3

＜c＜

16

3

時(shí)，方程-

1

3

x3 +4x-c=0有三個(gè)解；
（Ⅲ）由（Ⅱ） 知F′（x）=-

1

3

x3 +

1

2

mx2+3x，∴F″（x）=-x²+mx+3
令F″（x）＞0，∴-x²+mx+3＞0，∴x²-mx-3＜0
要使存在實(shí)數(shù)m∈[-2，2]，使得函數(shù)F（x）在（a，b）上為“凹函數(shù)”，則b-a取得最大時(shí)，b，a是方程x²-mx-3=0的根，∴b+a=m，ba=-3
∴（b-a）²=m²+12
∴b-a最大值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，函數(shù)的單調(diào)性，考查方程解的討論，同時(shí)考查新定義，綜合性較強(qiáng)．