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函數f（x）的定義域為（0，+∞），并滿足以下條件：
①對任意的x＞0，y＞0，有f（xy）=f（x）+f（y）； ②x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是單調增函數；
（3）若x滿足f(
1
2
)≤f(x)≤f(2)，求函數y=2x+
1
x
的最大、最小值．
分析：（1）賦值法：令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得；
（2）利用單調性定義：設x1＞x2＞0，則f(x1)=f(
x1
x2
•x2)=f(
x1
x2
)+f(x2)＞f(x2)，由此可判斷單調性；
（3）先根據單調性求出x的范圍，然后判斷y=2x+
1
x
的單調性，根據單調性即可求得其最值．
解答：解：（1）令x=y=1，則由①，有f（1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；
（2）設x1，x2是定義域（0，+∞）上的任意兩個實數，且x1＞x2＞0，
則
x1
x2
＞1，則f(
x1
x2
)＞0，
于是有f(x1)=f(
x1
x2
•x2)=f(
x1
x2
)+f(x2)＞f(x2)，
即f（x1）＞f（x2）．
則由函數單調性的定義知，f（x）在（0，+∞）上是單調增函數．
（3）由（2）及f(
1
2
)≤f(x)≤f(2)知，
1
2
≤x≤2，
于是y=2x+
1
x
=2(x+
1
2
x
)在[
1
2
，
2
2
]上單調遞減，在[
2
2
，2]上單調遞增，
f(
1
2
)=3，f(2)=
9
2
，
因此最大值為x=2時，y=
9
2
，
最小值為x=
2
2
時，y=2
2
，
綜上所述，y=2x+
1
x
的最大值為
9
2
，最小值為2
2
．
點評：本題考查抽象函數的單調性、最值問題，關于抽象函數的單調性一般采用定義判斷．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）的定義域為{x|x≠0}，且滿足對于定義域內任意的x1，x2都有等式f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅲ）若f（2）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，解關于x的不等式f（2x-1）-3≤0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）的定義域是[0，1），則F（x）=f[log 
12
(3-x)]的定義域為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，函數f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數F（x）的定義域D及其零點；
（2）試討論函數F（x）在定義域D上的單調性；
（3）若關于x的方程F（x）-2m2+3m+5=0在區(qū)間[0，1）內僅有一解，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）的定義域為（-1，1），它在定義域內既是奇函數又是增函數，且f（a-3）+f（4-2a）＜0，則實數a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）的定義域為[-1，2]，則函數
f(x+2)
x
的定義域為（　�。�
A、[-1，0）∪（0，2]
B、[-3，0）
C、[1，4]
D、（0，2]

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