Question

如圖，將一副三角板拼接，使它們有公共邊BC，若使兩個三角形所在的平面互相垂直，且∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．
（Ⅰ）求證：平面ABD⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-B的平面角的正切值；
（Ⅲ）求點B到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（1）要證平面ABD⊥平面ACD，關(guān)鍵是證AC⊥平面ABD，只需證AC⊥BD，AC⊥AB，利用平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC可證；
（2）設(shè)BC中點為E，連AE，過E作EF⊥CD于F，連AF，由三垂線定理，可得∠EFA為二面角的平面角，從而可求；
（Ⅲ）過點E作EM⊥AF，垂足為M，則EM⊥平面ACD，設(shè)點B到平面ACD的距離為h，根據(jù)E是BC的中點，可得h=2EM，故可求

解答：解：（Ⅰ）∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC
∴BD⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB=B，
∴AC⊥平面ABD 
又AC?平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD．
（Ⅱ）取BC中點E，連AE，過E作EF⊥CD于F，連AF，由三垂線定理知AF⊥CD
則∠EFA為二面角的平面角
∵△EFC∽△DBC，∴

EF

BD

=

CF

CD

，
∴EF=

3

2

，又AE=3，
∴tan∠EFA=

AE

EF

=2
∴二面角的平面角的正切值為2
（Ⅲ）過點E作EM⊥AF，垂足為M，則EM⊥平面ACD
設(shè)點B到平面ACD的距離為h
∵E是BC的中點
∴h=2EM
而EM=

EF•AE

AF

=

3 5

5

∴h=

6 5

5

點評：本題的考點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合，主要考查面面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角的平面角，考查點面的距離，有一定的綜合性