Question

已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}，前n項(xiàng)和為S_n．且滿足a₃a₄=117，a₂+a₅=22．
（Ⅰ）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=

Sn

n- 1 2

，求f（n）=

bn

(n+36)bn+1

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₃，a₄的和與積，可解a₃，a₄的值，進(jìn)而可求通項(xiàng)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求S_n，進(jìn)而可得b_n和f（n），下面由基本不等式可得最值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閧a_n}是等差數(shù)列，所以a₃+a₄=a₂+a₅=22又a₃•a₄=117
所以a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的兩根．又d＞0，所以a₃＜a₄．
所a₃=9，a₄=13，d=4，故a₁=1，a_n=4n-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S_n=

n(1+4n-3)

2

=2n²-n，故bn=

2n2-n

n- 1 2

=2n，
所以f（n）=

bn

(n+36)bn+1

=

n

n2+37n+36

=

1

n+ 36 n +37

≤

1

2 36 +37

=

1

49

．
當(dāng)且僅當(dāng)n=

36

n

，即n=6時(shí)，f（n）取得最大值

1

49

．

點(diǎn)評(píng)：本題為等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．