Question

16．若實數(shù)a，b，c滿足（a-2b-1）²+（a-c-lnc）²=0，則|b-c|的最小值是1．

Answer 1

分析 （a-2b-1）²+（a-c-lnc）²=0，可得a=2b+1，a=c+lnc.2b+1=c+lnc，|b-c|=$\frac{|1+c-lnc|}{2}$，令f（c）=1+c-lnc（c＞0），利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值即可得出．

解答 解：∵（a-2b-1）²+（a-c-lnc）²=0，∴a=2b+1，a=c+lnc．
∴2b+1=c+lnc，
b=$\frac{c+lnc-1}{2}$．
∴|b-c|=$\frac{|1+c-lnc|}{2}$，
令f（c）=1+c-lnc（c＞0），
f′（c）=1-$\frac{1}{c}$=$\frac{c-1}{c}$，
可得：c=1時，函數(shù)f（c）取得極小值即最小值，f（1）=2＞0．
∴|b-c|=$\frac{|1+c-lnc|}{2}$≥1，
故答案為：1．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、函數(shù)的性質、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．