Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（x，-y）．
（1）若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足

a

•

b

=-1的概率；
（2）若x，y∈[1，6]，求滿足

a

•

b

＞0的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）本小題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型，關(guān)鍵是要找出滿足條件滿足

a

•

b

=-1的基本事件個(gè)數(shù)，及總的基本事件的個(gè)數(shù)，再代入古典概型公式進(jìn)行計(jì)算求解．
（2）本小題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要畫出滿足條件的圖形，結(jié)合圖形分析，找出滿足條件的點(diǎn)集對(duì)應(yīng)的圖形面積，及圖形的總面積．

解答： 解：（1）設(shè)（x，y）表示一個(gè)基本事件，則拋擲兩次骰子的所有基本事件有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36個(gè)．﹍﹍﹍﹍﹍﹍（3分）
用A表示事件“a•b=-1”，即x-2y=-1．
則A包含的基本事件有：
（1，1），（3，2），（5，3），共3個(gè)．﹍﹍﹍﹍﹍﹍（5分）
∴P（A）=

3

36

=

1

12

．﹍﹍﹍﹍﹍﹍（7分）
（2）用B表示事件“a•b＞0”，即x-2y＞0．
試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}，﹍﹍﹍﹍﹍﹍（9分）
構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)閧（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6，x-2y＞﹍﹍﹍﹍﹍﹍（12分）0}，
如圖所示．所以所求的概率為P（B）=

1 2 ×4×2

5×5

=

4

25

．﹍﹍﹍﹍﹍﹍（14分）

點(diǎn)評(píng)：古典概型要求所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，強(qiáng)調(diào)所有結(jié)果中每一結(jié)果出現(xiàn)的概率都相同．弄清一次試驗(yàn)的意義以及每個(gè)基本事件的含義是解決問題的前提，正確把握各個(gè)事件的相互關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．解決問題的步驟是：計(jì)算滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)，及基本事件的總個(gè)數(shù)，然后代入古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解．
幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=

N(A)

N

求解．